【原神】素材合成天賦 10% 25% 期待値計算

原神の素材合成で，10%で上位素材が追加で出る天賦と，25%で下位素材が追加で出る天賦の，どちらかがいいか数学的に示したネタ記事．

要点

10%天賦の方が，多く獲得できる．

期待値は，一般合成を 100 とすると
10%天賦：110
25%天賦：109.1

10%天賦の方が，25%天賦より，0.83%多く素材を獲得できる．
確率上の期待値で1%未満の差なので，ほぼ気にしなくていいレベル．

これらのどちらが期待値が高くなるか比較する．

合成に用いる下位素材の数を $3a$個とする．
したがって，一般合成でできる上位素材は $a$個となる．
また，合成回数は $a$回となる．

題にある条件から，合成回数は $a$回のままである．
したがって，上位素材の期待個数は

$$a+0.1a=1.1a\tag{1}$$

となる．

こちらでは，下位素材が追加獲得されるため，比較しやすいように獲得された下位素材を上位素材へ再度合成を行う．

1巡目の合成では，
上位素材：$a$個
下位素材：$0.25a$個
獲得できる．

2巡目の合成では，1巡目で得た下位素材を合成するため，
上位素材：$\frac{0.25}{3}a$個
下位素材：$0.25\times\frac{0.25}{3}a$個
獲得できる．

3巡目の合成では，2巡目で得た下位素材を合成するため，
上位素材：$\frac{0.25^2}{3^2}a$個
下位素材：$0.25\times\frac{0.25^2}{3^2}a$個
獲得できる．

これらのことから
$n$巡目の合成では，$n-1$巡目で得た下位素材を合成するため，
上位素材：$\left(\frac{0.25}{3}\right)^{n-1}a$個
下位素材：$0.25\times\left(\frac{0.25}{3}\right)^{n-1}a$個
獲得できる．

上位素材の総数は，

\begin{align}
&a+\frac{0.25}{3}a+…+\left(\frac{0.25}{3}\right)^{n-1}a\\
&=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{0.25}{3}\right)^{k-1}a\tag{2}
\end{align}

となる．
等比数列の和の公式を用いると，式$(2)$は，

$$\frac{1-\left(\frac{0.25}{3}\right)^n}{1-\frac{0.25}{3}}a$$

となる．

ここで，$n→\infty$の極限をとると，

\begin{align}
&\lim_{n→\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{0.25}{3}\right)^{k-1}a\\
&=\frac{1}{1-\frac{0.25}{3}}a\\
&\approx1.091a\tag{3}
\end{align}

これが上位素材を総獲得数で換算したときの期待値である．

式$(1),(3)$より
$1.1a-1.091a=0.009a$

$a$ は正の整数であるため
$0.009a>0$ となり
10%天賦の方が期待値は大きい．

10%天賦が25%天賦と比較して何%多いか計算する．

\begin{align}
&\frac{1.1}{\frac{1}{1-\frac{0.25}{3}}}-1\\
&=1.1\times(1-\frac{0.25}{3})-1\\
&=0.008333…
\end{align}

10%天賦の方が，約$0.83$%多く獲得できる．