【原神】会心率:会心ダメージ=1:2 を証明する

会心率 \(:\) 会心ダメージ\(=1:2\) を数学っぽく証明したいだけのネタ記事

要約

会心率 \(:\) 会心ダメージ\(=1:2\)
を目標に育成すればOK

会心率と会心ダメージを\(1:2\)で育成すると,期待値が最大になることを証明する.

聖遺物のサブオプションで伸びるステータスが,会心ダメージは会心率の2倍伸びることを前提条件とする.

☆5聖遺物のサブオプションの効果量

会心率2.73.13.53.9
会心ダメージ5.46.27.07.8

証明

会心率を\(x\),会心ダメージを\(y\),会心期待倍率を\(z\)とする.
また,会心スコアを\(a\)とする.

会心期待倍率\(z\)は

\begin{align}
z&=(会心時のダメージ\times会心率)+(非会心時のダメージ\times非会心率)\\
&=(1+y)\times x+1\times(1-x)
\end{align}

したがって,

$$z=1+xy\tag{1}$$

会心スコア\(a\)は,前提条件の「会心ダメージは会心率の2倍伸びる」を考慮すると

$$a=2x+y\tag{2}$$

\((2)を(1)に代入してyを消すと\)

\begin{align}
z&=1+x\times(a-2x)\\
&=-2x^2+ax+1\\
&=-2(x-\frac{1}{4}a)^2+(1+\frac{1}{8}a^2)
\end{align}

したがって,\(z\)は\(x\)に関して上に凸の関数となっており

$$x=\frac{1}{4}a\tag{3}$$

のとき最大になる.

\((3)\)を\((2)\)に代入して\(a\)を消すと

$$4x=2x+y$$

$$2x=y$$

$$x:y=1:2$$

したがって,
会心率 \(:\) 会心ダメージ\(=1:2\)
となるとき期待値は最大になる.

会心率25%未満のとき

実際に原神では,会心率5%と会心ダメージ50%が元からついている.
これを考慮して,会心率25%未満のときについて考える.

上記の証明と同様に
会心率を\(x\),会心ダメージを\(y\),会心期待倍率を\(z\)とし,
会心期待倍率を求めると式\((1)\)となる.

ここで,\(x\)と\(y\)のそれぞれのステータスの成長\(\mathit\Delta x\)と\(\mathit\Delta y\)について考える.

会心率\(\mathit\Delta x\)が成長した場合

$$z_{\mathit\Delta x}=1+(x+\mathit\Delta x)y$$

式\((2)\)を参考にし,\(\mathit\Delta x\)を会心スコア\(\mathit\Delta a\)を用いて表すと

$$z_{\mathit\Delta x}=1+(x+\frac{1}{2}\mathit\Delta a)y\tag{4}$$

会心ダメージ\(\mathit\Delta y\)が成長した場合

$$z_{\mathit\Delta y}=1+x(y+\mathit\Delta y)$$

同様に式\((2)\)を参考にし,\(\mathit\Delta y\)を会心スコア\(\mathit\Delta a\)を用いて表すと

$$z_{\mathit\Delta y}=1+x(y+\mathit\Delta a)\tag{5}$$

それぞれの比較をするため,\((4)\)と\((5)\)の差をみる.

$$z_{\mathit\Delta x}-z_{\mathit\Delta y}\\
=(1+(x+\frac{1}{2}\mathit\Delta a)y)-(1+x(y+\mathit\Delta a))\\
=\mathit\Delta a(\frac{1}{2}y-x)$$

前提条件から\((0.05\le x<0.25)\),\((0.5\le y)\)であるため,\(y\)の最小値を代入すると,

$$\mathit\Delta a(\frac{1}{2}y-x)\\
=\mathit\Delta a(0.25-x)$$

\((0.05\le x<0.25)\)であり,\(\mathit\Delta a\)は正の数であるため,

$$\mathit\Delta a(0.25-x)>0$$

したがって,

$$z_{\mathit\Delta x}>z_{\mathit\Delta y}$$

会心率25%未満のときは会心率を伸ばしたほうが会心期待倍率が高いことが分かる.

会心率100%を超えるとき

原神では二重会心などは発生しないため,会心率100%を超えた分は完全に無駄になる.
そのため,会心率100%,会心ダメージ200%以降は,会心ダメージを伸ばすのが良い.

参考リンク

聖遺物 - 原神  Wiki*
会心率と会心ダメージの理想比率
結論から言うと、会心率と会心ダメージは最終的に1:2になっていれば理想的だねってはなしダメージの期待値非会心時のダメージ×(1+会心率×会心ダメージ)会心率/会心ダメージの比率の算出非会心時のダメージは会心率および会心ダメージには影響されないため、会心率×会心ダメージ の部分にだけ注目し、この項を最大にするような会心率...

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