【原神】攻撃力と会心の理想比率

攻撃力と会心の比率を数学的に表したネタ記事

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要約

手軽に知りたい人は,ツールを作ったのでそちらを使う.

聖遺物:☆4以下

会心は捨てて,とにかく攻撃力を上げる

聖遺物:☆5厳選(初期~中盤)

攻撃力約120%
会心率:会心ダメ=1:2

聖遺物:☆5厳選(終盤)

会心率100%,会心ダメ200%,攻撃力125%
以降,会心ダメ+20%で,攻撃力+15%

詳細(グラフ)

青線は,横軸が会心率
赤線は,横軸が会心ダメージ

tips

あくまで理想比率なので,これらからずれても問題はない.
また,理想比に近づけるよりも,単純に数値が高いやつの方が強いこともある.

会心率 \(:\) 会心ダメージ\(=1:2\) が会心の最大期待値になることを用いて,ダメージが最大になる攻撃力と会心の比率を求める.

聖遺物のサブオプションで伸びるステータスが,攻撃力(%)は会心率の1.5倍伸びることを前提条件とする.

☆5聖遺物のサブオプションの効果量

攻撃力(%)4.14.75.35.8
会心率2.73.13.53.9
会心ダメージ5.46.27.07.8

計算

攻撃力(%)を\(x\),会心率を\(y\),会心ダメージを\(y’\),期待倍率を\(z\)とする.
また,攻撃・会心の装備スコアを\(a\)とする.

攻撃力(%)\(x\)について
これはキャラクターのステータスを見たときに,攻撃力の(緑字÷白字)をした値である.
そのため,聖遺物などで上昇する攻撃力(%)はこれにそのまま加算できる.

期待倍率\(z\)は

\begin{align}
z&=(1+x)(((1+y’)\times y)+(1\times(1-y)))\\
&=(1+x)(1+yy’)\tag{1}
\end{align}

ここで題より

\begin{align}
&会心率:会心ダメージ=y:y’=1:2\\
&y’=2y\tag{2}
\end{align}

また,これを満たす\(y\)の範囲は

$$0.25\le y\le1.0\tag{2.1}$$

式\((2)\)を式\((1)\)へ代入すると

$$z=(1+x)(1+2y^2)\tag{3}$$

装備スコア\(a\)は,前提条件の「攻撃力(%)は会心率の1.5倍伸びる」から

\begin{align}
a&=x+1.5y+\frac{1.5}{2}y’\\
&=x+3y\tag{4}
\end{align}

式\((4)\)を式\((3)\)へ代入し\(x\)を消すと

\begin{align}
z&=(1+a-3y)(1+2y^2)\\
&=-6y^3+2(a+1)y^2-3y+(a+1)\tag{5}
\end{align}

$$\dot z=-18y^2+4(a+1)y-3$$

\(\dot z=0\)のとき

$$-18y^2+4(a+1)y-3=0$$

\begin{align}
y&=\frac{-4(a+1)\pm\sqrt{16(a+1)^2-216}}{-36}\\
&=\frac{1}{9}(a+1\pm\sqrt{(a+1)^2-13.5})\\
&=y_1,~y_2~~~(y_1<y_2)
\end{align}

場合分け

※ここからは適当

横軸を\(a\),縦軸を\(y\)としたときのグラフ

\(0<a\le2.674…\)の場合

\begin{array}{c|ccc}
y&0.25&…&1\\ \hline
\dot z&…&-&…\\ \hline
z&…&\searrow&…
\end{array}

したがって,\(y=0.25\)のとき\(z\)は最大になる.

\(2.674…<a<3.125\)の場合

\begin{array}{c|ccccccc}
y&0.25&…&y_1&…&y_2&…&1\\ \hline
\dot z&…&-&0&+&0&-&…\\ \hline
z&…&\searrow&…&\nearrow&…&\searrow&…
\end{array}

したがって,\(y=0.25\)または,\(y=y_2\)のとき\(z\)は最大になる.

式\((5)\)を用いて,\(f(a)=z_{0.25}-z_{y_2}\)をグラフにすると

これより,\(2.674…<a<2.75\)のとき,\(y=0.25\)で\(z\)は最大になる.
また,\(2.75\le a<3.125\)のとき,\(y=y_2\)で\(z\)は最大になる.

\(3.125\le a\le4.25\)の場合

\begin{array}{c|ccccc}
y&0.25&…&y_2&…&1\\ \hline
\dot z&…&+&0&-&…\\ \hline
z&…&\nearrow&…&\searrow&…
\end{array}

したがって,\(y=y_2\)のとき\(z\)は最大になる.

\(4.25<a\)の場合

\begin{array}{c|ccc}
y&0.25&…&1\\ \hline
\dot z&…&+&…\\ \hline
z&…&\nearrow&…
\end{array}

したがって,\(y=1\)のとき\(z\)は最大になる.

ここで,\(y=0.25,1\)のときは別に考慮することがあるため,別項にて計算する.

以上のことから,\(2.75\le a\le4.25\)のとき,\(y=y_2\)で\(z\)は最大になる.
式\((4)\)へ\(y=y_2\)を代入すると

$$x=a-\frac{1}{3}(a+1+\sqrt{(a+1)^2-13.5})\\
y=\frac{1}{9}(a+1+\sqrt{(a+1)^2-13.5})\\
2.75\le a\le4.25$$

これをグラフにする.
分かりやすくするため,横軸を会心率\(y\),縦軸を攻撃力\(x\)とする.

雑にまとめると
会心率が50%~100%のときは
攻撃力を約120%,会心率:会心ダメージ=1:2にすれば,期待値が最も高くなる.

会心率25%未満のとき

攻撃力(%)を\(x\),会心率を\(y\),会心ダメージを\(y’=0.5\),期待倍率を\(z\)とする.
また,攻撃・会心の装備スコアを\(a\)とする.

条件から

$$0.05\le y<0.25$$

さらに,前項から

$$0<a<2.75$$

期待倍率\(z\)は

\begin{align}
z&=(1+x)(((1+y’)\times y)+(1\times(1-y)))\\
&=(1+x)(1+0.5y)
\end{align}

装備スコア\(a\)は

$$a=x+1.5y+0.375$$

代入して\(x\)を消すと

\begin{align}
z&=(1+a-1.5y-0.375)(1+0.5y)\\
&=-\frac{3}{4}y^2+\frac{1}{2}(a-2.375)y+(a+0.625)
\end{align}

$$\dot z=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}(a-2.375)$$

\(\dot z=0\)のとき

$$y=\frac{1}{3}(a-2.375)=y_1$$

横軸を\(a\),縦軸を\(y\)としたときのグラフ

\(0<a\le2.525\)の場合

\begin{array}{c|ccc}
y&0.05&…&0.25\\ \hline
\dot z&…&-&…\\ \hline
z&…&\searrow&…
\end{array}

したがって,\(y=0.05\)のとき\(z\)は最大になる.

\(2.525<a<2.75\)の場合

\begin{array}{c|ccccc}
y&0.05&…&y_1&…&0.25\\ \hline
\dot z&…&+&…&-&…\\ \hline
z&…&\nearrow&…&\searrow&…
\end{array}

したがって,\(y=y_1\)のとき\(z\)は最大になる.
これらより

$$x=a-\frac{1}{2}(a-2.375)-0.375\\
y=\frac{1}{3}(a-2.375)\\
2.525<a<2.75$$

これをグラフにする.
分かりやすくするため,横軸を会心率\(y\),縦軸を攻撃力\(x\)とする.

雑にまとめると
装備スコアが低いうちは,会心系に一切振らず
攻撃力を200%近くまで上げたほうが,期待値が最も高い.

\(a\)の範囲修正

前項の\(a\)の転換点は\(a=2.75\)であった.
この時の\(y\)は\(y=0.25\)だったが,
本項の\(a=2.75\)で最大になる\(z\)は\(y=0.125\)となった.

このことから,再度\(a\)の転換点について検証する.

前項の\(z\)を\(z’\)として,
\(f(a)=z_{y_1}-z’_{y_2}\)をグラフにする.

これより,\(2.525<a<2.776…\)のとき,\(y=y_1\)で\(z\)は最大になる.
また,\(2.776…\le a\le4.25\)のとき,\(y=y_2\)で\(z’\)は最大になる.

会心率100%のとき

攻撃力(%)を\(x\),会心率を\(y=1\),会心ダメージを\(y’\),期待倍率を\(z\)とする.
また,攻撃・会心の装備スコアを\(a\)とする.

条件から

$$2<y’$$

さらに,前項から

$$4.25<a$$

期待倍率\(z\)は

\begin{align}
z&=(1+x)(((1+y’)\times y)+(1\times(1-y)))\\
&=(1+x)(1+y’)
\end{align}

装備スコア\(a\)は

$$a=x+0.75y’+1.5$$

代入して\(x\)を消すと

\begin{align}
z&=(1+a-0.75y’-1.5)(1+y’)\\
&=-\frac{3}{4}y’^2+(a-1.25)y’+(a-0.5)
\end{align}

$$\dot z=-\frac{3}{2}y’+(a-1.25)$$

\(\dot z=0\)のとき

$$y’=\frac{2}{3}(a-1.25)=y’_1$$

これは,\(4.25<a\)のとき,常に\(2<y’\)を満たす.

\begin{array}{c|ccccc}
y’&2&…&y’_1&…\\ \hline
\dot z&…&+&…&-\\ \hline
z&…&\nearrow&…&\searrow
\end{array}

したがって,\(y’=y’_1\)のとき\(z\)は最大になる.
これらより

$$x=a-\frac{1}{2}(a-1.25)-1.5\\
y’=\frac{2}{3}(a-1.25)\\
4.25<a$$

これをグラフにする.
分かりやすくするため,横軸を会心ダメージ\(y’\),縦軸を攻撃力\(x\)とする.

雑にまとめると
会心ダメージ200%,攻撃力125%
以降は,会心ダメージ+20%で,攻撃力+15%ずつあげる.

参考リンク

聖遺物 - 原神  Wiki*
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